【三角函数公式大全有哪些】在数学学习中，三角函数是基础而重要的内容之一。它广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握各种三角函数公式，有助于提高解题效率和理解能力。本文将对常见的三角函数公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本三角函数定义
设角θ的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
| 函数名称 | 定义式 | 说明 |
| 正弦 | sinθ = y | 对边与斜边的比值 |
| 余弦 | cosθ = x | 邻边与斜边的比值 |
| 正切 | tanθ = y/x | 对边与邻边的比值 |
| 余切 | cotθ = x/y | 邻边与对边的比值 |
| 正割 | secθ = 1/x | 斜边与邻边的比值 |
| 余割 | cscθ = 1/y | 斜边与对边的比值 |
二、基本关系式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1/cscθ；cosθ = 1/secθ；tanθ = 1/cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ；cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1；1 + tan²θ = sec²θ；1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式表达式 |
| θ + 2π | sin(θ + 2π) = sinθ；cos(θ + 2π) = cosθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ；cos(-θ) = cosθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ；cos(π - θ) = -cosθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ；cos(π + θ) = -cosθ |
| π/2 - θ | sin(π/2 - θ) = cosθ；cos(π/2 - θ) = sinθ |
| π/2 + θ | sin(π/2 + θ) = cosθ；cos(π/2 + θ) = -sinθ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差角 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差角 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差角 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦倍角 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA cosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA sinB | [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinA sinB | -[cos(A+B) - cos(A-B)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
总结
三角函数公式种类繁多，涵盖基本定义、关系式、诱导公式、和差角、倍角、半角、积化和差、和差化积等多个方面。熟练掌握这些公式，不仅有助于解决各类数学问题，还能提升逻辑思维和计算能力。建议在学习过程中结合图形理解，逐步积累，做到灵活运用。