【商的求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。对于两个可导函数的商（即一个函数除以另一个函数），其导数的计算需要遵循特定的规则，这就是“商的求导公式”。该公式在实际应用中非常广泛，尤其在物理、工程和经济等领域中经常使用。
一、商的求导公式总结
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则 $ f(x) $ 的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简记为：分子导乘分母减分子乘分母导，再除以分母的平方。
二、公式解析与示例
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ |
| 含义 | 对于两个可导函数的商，导数等于分子导数乘以分母，减去分子乘以分母导数，再除以分母的平方 |
| 注意事项 | 分母不能为零；必须保证 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 在定义域内可导 |
| 应用场景 | 物理运动分析、经济学中的边际分析、几何曲线斜率计算等 |
三、举例说明
例1：
设 $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} $，求 $ f'(x) $。
- $ u(x) = x^2 $，则 $ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = \sin x $，则 $ v'(x) = \cos x $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{(\sin x)^2}
$$
例2：
设 $ f(x) = \frac{\ln x}{e^x} $，求 $ f'(x) $。
- $ u(x) = \ln x $，则 $ u'(x) = \frac{1}{x} $
- $ v(x) = e^x $，则 $ v'(x) = e^x $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot e^x - \ln x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(1/x - \ln x)}{e^{2x}} = \frac{1/x - \ln x}{e^x}
$$
四、常见错误与注意事项
| 常见错误 | 解释 |
| 忽略分母的平方 | 导致结果不准确，需特别注意分母的平方 |
| 混淆分子和分母的导数 | 容易将分子导数与分母导数的位置颠倒 |
| 忽视分母不能为零 | 若分母为零，则函数无定义，无法求导 |
| 不检查可导性 | 必须确保 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 在所考虑区间内可导 |
五、总结
商的求导公式是微积分中的基本工具之一，掌握其推导过程和应用方法对深入理解函数的变化规律至关重要。通过合理运用该公式，可以高效地处理涉及函数比值的复杂问题。在实际操作中，建议结合具体例子反复练习，以增强对公式的理解和应用能力。