【锐角三角函数公式】在数学中，锐角三角函数是研究直角三角形边与角之间关系的重要工具。常见的锐角三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）以及它们的倒数函数——余切（cot）、正割（sec）、余割（sec）。这些函数在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用。
为了更好地理解和记忆这些公式，以下是对常用锐角三角函数的基本定义和相关公式的总结。
一、基本定义
在直角三角形中，设一个锐角为 θ，则：
- 对边：与角 θ 相对的边
- 邻边：与角 θ 相邻的边（非斜边）
- 斜边：直角三角形的斜边（最长边）
根据这些边的关系，可以定义如下六个三角函数：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦 | sinθ = 对边 / 斜边 |
| 余弦 | cosθ = 邻边 / 斜边 |
| 正切 | tanθ = 对边 / 邻边 |
| 余切 | cotθ = 邻边 / 对边 |
| 正割 | secθ = 斜边 / 邻边 |
| 余割 | cscθ = 斜边 / 对边 |
二、常用角度的三角函数值
以下是一些常见锐角（0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值，便于快速查阅和计算：
| 角度（°） | sinθ | cosθ | tanθ | cotθ | secθ | cscθ |
| 0° | 0 | 1 | 0 | 无定义 | 1 | 无定义 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 90° | 1 | 0 | 无定义 | 0 | 无定义 | 1 |
> 注：tanθ 和 cotθ 在某些角度上无定义（如 90° 和 0°），因为分母为零。
三、三角函数之间的关系
除了基本定义外，还有一些重要的三角恒等式，可用于简化计算或证明问题：
1. 基本恒等式：
- $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $
- $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $
- $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $
2. 互为倒数关系：
- $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $
- $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $
- $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $
3. 互补角关系（θ 与 90°−θ）：
- $ \sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta $
- $ \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta $
- $ \tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta $
四、应用示例
假设有一个直角三角形，其中一角为 30°，斜边长度为 10 cm，求对边和邻边的长度。
- 对边 = $ \sin(30^\circ) \times 10 = \frac{1}{2} \times 10 = 5 $ cm
- 邻边 = $ \cos(30^\circ) \times 10 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 \approx 8.66 $ cm
总结
锐角三角函数是学习三角学的基础内容，掌握其定义、公式及常见角度的值，有助于解决实际问题。通过表格形式整理，能够更清晰地理解各函数之间的关系，并在计算时提高效率。同时，了解三角函数之间的恒等关系，也有助于深入理解三角函数的本质。